Bài 2. Mặt cầu – Toán 12

 Lý thuyết mặt cầu

Bài 1 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 1. Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng $AB$ cố định dưới một góc vuông.

 Bài 2 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Giải:

Bài 3 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 3. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước

Giải:

Bài 4 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 4. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Giải:

Bài 5 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 5. Từ một điểm $M$ nằm nằm bên ngoài mặt cầu $S(O;r)$ ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại $A,B$ và $C,D$.

a) Chứng minh rằng $MA.MB=MC.MD$.

b) Gọi $MO=d$. Tính $MA.MB$ theo $r$ và $d$.

Giải:

Bài 6 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 7 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 8 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 8. Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với $6$ cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.

Giải:

Bài 9 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 10 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12

Bài 2.13 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong mặt phẳng  cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với $\left(\alpha \right)$ ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng $($ đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng  cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’ , C’, D’.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’ , D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.14 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.15 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Bài 2.16 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Bài 2.17 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h

(0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C) . Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C)

a) Chứng minh các tổng AD² + BC²  và AC² + BD²  có giá trị không đổi.

b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?

c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).

Hướng dẫn làm bài:

Diện tích  này lớn nhất khi AI // CD.

c) Ta có  . Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông. Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng .

Bài 2.18 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$ . Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC.

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD.

Hướng dẫn làm bài

Bài 2.19 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.20 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.21 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.22 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và  bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi  và hình cầu.

b) Đường thẳng  đi qua A vuông góc với mặt phẳng  cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.

Hướng dẫn làm bài: