Bài 1. Khái niệm về khối đa diện – Toán 12

Lý thuyết khái niệm về khối đa diện

Khái niệm về khối đa diện

Tóm tắt lý thuyết

1. Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).

2. Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện .

3. Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H).
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện(H) và miền trong của nó.

4. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M′ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :

Bài 1 trang 12 sgk hình học 12

Bài 2 trang 12 sgk hình học 12

Bài 3 trang 12 sgk hình học 12

Bài 3 trang 12 sách sgk hình học 12

Bài 4 trang 12 sách sgk hình học 12

Làm tương tự đối với lăng trụ BCD.B′C′D′ ta sẽ chia được hình lập phương thành sáu tứ diện bằng nhau.

Bài 4 trang 12 sgk hình học 12

Bài 1.1 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12′

Bài 1.2 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Bài 1.3 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Chia hình chóp tứ giác đều thành tám hình chóp bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Hai đường chéo AC, BD và hai đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện của hình vuông ABCD chia hình vuông ABCD thành tám tam giác bằng nhau. Xem mỗi tam giác đó là đáy của một hình chóp đỉnh S ta sẽ được tám hình chóp bằng nhau.

Bài 1.4 trang 11 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Chia một khối tứ diện đều thành bốn tứ diện bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện. Khi đó dễ thấy các tứ diện GABC, GBCD, GCDA, GDAB bằng nhau.

Chia một khối tứ diện đều thành bốn tứ diện bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện. Khi đó dễ thấy các tứ diện GABC, GBCD, GCDA, GDAB bằng nhau.

Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi M1 là một mặt của hình đa diện (H). Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của M1. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi M2 là mặt khác với M1 và có chung cạnh AB với M1. Khi đó M2 còn có ít nhất một đỉnh D khác với A và B. Nếu D≡C thì M1 và M2 có hai cạnh chung AB và BC , điều này vô lý. Vậy D phải khác C. Do đó (H) có ít nhất bốn đỉnh A, B, C, D.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *