ĐỀ TOÁN TỔNG HỢP – CHƯƠNG II – HÌNH HỌC 12 – Toán 12

Bài 2.24 trang 65 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Bài 2.25 trang 65 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h.

a) Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.26 trang 65 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.27 trang 65 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong mặt phẳng  , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng   đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng   xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Hướng dẫn làm bài

Bài 2.28 trang 65 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai đường thẳng  và  chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc   và A’ thuộc   . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với   và d là hình chiếu vuông góc của   trên mặt phẳng (P). Đặt  AA’ = a, góc nhọn giữa   và d là $\alpha$. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt  và  lần lượt tại M và M’. Gọi M₁ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M₁ cùng nằm trên  mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, $\alpha$ và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.29 trang 66 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng  (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 30⁰.

Hướng dẫn làm bài

Bài 2.30 trang 66 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.

Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h  cho trước và có đáy ABCD  là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.31 trang 66 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABC.D và A’B’C’D’.

b) Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh  của hình lập phương.

c) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng  AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.

Hướng dẫn làm bài:

Bài 2.32 trang 66 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ  và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.

b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách trục một khoảng bằng  . Tính diện tích thiết diện thu được.

c) Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO’ theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn làm bài: