Phân thức Đại số cũng có nhiều dạng toán như rút gọn phân thức, tính giá trị của phân thức, chứng minh đẳng thức, chứng minh phân thức là tối giản, điều kiện để phân thức có nghĩa,… Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về Phân thức Đại số cùng phương pháp giải các dạng toán này. Đồng thời với mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và bài tập có lời giải để các em dễ dàng ghi nhớ, vận dụng khi gặp các bài toán tương tự.

I. Lý thuyết về Phân thức Đại số

1. Định nghĩa phân thức đại số

• Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng:  trong đó A, B là những đa phức và B ≠ 0.

– Trong đó A được gọi là tử thức (hay tử) B được gọi là mẫu thứ (hay mẫu).

• Mỗi đa thức được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

2. Tính chất của phân thức đại số

a) Với hai phân thức  và  ta nói:

nếu 

b) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

 ; (M là đã thức và M≠0)

c) Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

 ; (N là một nhân tử chung và N≠0)

d) Quy tắc đổi dấu

° Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức:

° Đổi dấu trước phân thức và dấu tử thức : 

° Đổi dấu trước phân thức và dấu mẫu thức :

II. Các dạng toán về Phân thức đại số

° Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa

* Phương pháp: Cho mẫu thức khác 0 và tìm kết quả

♦ Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa:

a)     b)     c)

* Lời giải:

a) Để phân thức có nghĩa: 

b) 

c) 

♦ Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:

a)     b)

* Lời giải:

a) 

b) 

° Dạng 2: Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị cho trước.

* Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

– Bước 2: Vận dụng các tính chất của phân thức để khử dạng phân thức

– Bước 3: Đối chiếu giá trị của x với điều kiện phân thức có nghĩa.

♦ Ví dụ 1: Với giá trị nào của x để:

a)   b)

* Lời giải:

a)   (*)

– Phân thức xác định khi: 3x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1.

(*) ⇔ 2x + 3 = 3x – 3

⇔ 3x – 2x = 3 + 3

⇒ x = 6 (thỏa x ≠ 1).

– Kết luận: Vậy x = 6 là giá trị cần tìm.

b)   (*)

– Phân thức xác định khi: x3 + x – 3x2 – 3 ≠ 0

⇔ [x(x2 + 1) – 3 (x2 + 1)]≠ 0

⇔ (x2 + 1)(x – 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

(*) ⇔ x – 2 = 0 ⇒ x = 2.

– Kết luận: Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.

° Dạng 3: Chứng minh phân thức luôn có nghĩa.

* Phương pháp: Vận dụng các phép biến đổi để tìm điều kiện mẫu thức khác 0.

♦ Ví dụ: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:

a)      b)

* Lời giải:

a)    (*)

– Ta có: (x – 1)2 ≥ 0, ∀x nên (x – 1)2 + 1 ≥ 1, ∀x

Do đó: (x – 1)2 + 1 ≠ 0, ∀x

Vậy phân thức (*) luôn xác định.

b)  (**)

– Ta có: x2 – 4x + 5 = x2 – 4x + 4 + 1 = (x – 2)2 + 2.

(x – 2)2  ≥ 0, ∀x nên (x – 2)2 + 2 ≥ 2, ∀x

Do đó: x2 – 4x + 5 ≠ 0, ∀x

Vậy phân thức (**) luôn xác định.

° Dạng 4: Phân thức bằng nhau (đẳng thức phân thức).

* Phương pháp: Vận dụng các tính chất của phân thức đại số như   nếu A.D = B.C sau đó chứng minh VT = VP.

♦ Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

b)

* Lời giải:

a) 

– Ta cần chứng minh: 2(x – y).3 = -2.3(y – x)

 VT = 2(x – y).3 = 6(x – y)

 VP = -2.3(y – x) = -6(y – x) = -6y + 6x = 6x – 6y = 6(x – y).

⇒ VT = VP (ta có điều phải chứng minh).

b) 

– Ta cần chứng minh: x(x2 + 2x) = (x + 2).x2

VT = x(x2 + 2x) = x3 + 2x2

 VP = (x + 2).x2 = x3 + 2x2

⇒ VT = VP (ta có điều phải chứng minh).

♦ Ví dụ 2: Xét sự bằng nhau của 2 phân thức A và B sau:

a)  và

b)  và

* Lời giải:

a) Ta có: (có sử dụng tính chất chia cho nhân tử chung)

   

b) Ta có: (có sử dụng tính chất chia cho nhân tử chung)

° Dạng 5: Rút gọn phân thức đại số.

* Phương pháp:

– Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

♦ Ví dụ 1: Rút gọn các phân thức sau:

a)     b)

* Lời giải

a) 

b)

° Dạng 6: Chứng minh phân thức đại số là tối giản.

* Phương pháp:

– Để chứng minh một phân thức đại số là tối giản ta gọi Ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d, ta cần chứng minh d  = 1 hoặc d = -1. (cần vận dụng kiến thức về ước và bội, tính chất chia hết,…).

♦ Ví dụ: Chứng minh các phân thức sau là tối giản.

a)     b)  (với n là số tự nhiên);

* Lời giải:

a); gọi ƯCLN của -n+3 và n-4 là d.

⇒  và  ⇒  ⇒

⇒ d = 1 hoặc d = -1, Vậy phân thức đã cho tối giản ∀n.

b)   (với n là số tự nhiên);

– Gọi ƯCLN của 2n+1 và 5n+3 là d.

⇒  và 

– Có  ⇒ 

⇒ 

⇒ d=1 hoặc d=-1. Vậy phân thức đã cho tối giản ∀n∈N.

° Dạng 7: Tìm giá trị nguyên của biến x để phân thức có giá trị nguyên.

* Phương pháp:

– Vận dụng kiến thức về ước và bội, dấu hiệu chia hết để giải bài toán này.

♦ Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của biến x để biểu thức sau có giá trị là một số nguyên.

a)     b)

* Lời giải:

a)

° x – 2 là ước của 3; ta có Ư(3)={-3;-1;1;3}

Nếu x – 2 = -3 ⇒ x = -1

Nếu x – 2 = -1 ⇒ x = 1

Nếu x – 2 = 1 ⇒ x = 3

Nếu x – 2 = 3 ⇒ x = 5

– Kết luận: Vậy tập nghiệm là x ∈ S = {-1;1;3;5}.

b)

° 2x – 1 là ước của 5; ta có Ư(5)={-5;-1;1;5}

Nếu 2x – 1 = -5 ⇒ x = -2

Nếu 2x – 1 = -1 ⇒ x = 0

Nếu 2x – 1 = 1 ⇒ x = 1

Nếu 2x – 1 = 5 ⇒ x = 3

– Kết luận: Vậy tập nghiệm là x ∈ S = {-2;0;1;3}.

° Dạng 8: Tính giá trị của phân thức tại 1 giá trị của biến.

* Phương pháp:

– Nếu phân thức đã ở dạng rút gọn, thay giá trị của biến vào phân thức rồi tính.

– Nếu phân thức chưa ở dạng rút gọn, thực hiện rút gọn phân thức sau đó mới thay giá trị để tính.

♦ Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) tại x = -2.

b) tại x=5.

* Lời giải:

a) tại x = -2.

– Ta được: 

b) tại x=5.

– Ta có:

– tại x = 5 ta có: 

° Dạng 9: Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức

* Phương pháp:

– Phân tích phần hệ số thành tích các số nguyên tố, phần biến thành nhân tử.

– Mẫu chung: Phần hệ số là BCNN của các hệ số của các mẫu; Phần biến là tích giữa các nhân tử chung (các nhân tử giống nhau lấy nhân tử có số mũ lớn nhất).

– Tìm nhân tử phụ: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu

– Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được phân thức mới với các mẫu giống nhau.

♦ Ví dụ: Tìm điều kiện phân thức sau có nghĩa, tìm mẫu thức chung của chúng và quy đồng mẫu chung.

a) 

b)

* Lời giải:

a) 

– Điều kiện phân thức có nghĩa:

 có nghĩa khi 2x + 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3.

 có nghĩa khi x2 + 6x + 9 ≠ 0 ⇒ (x + 3)2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3.

– Ta có:   và 

⇒ Mẫu thức chung: 

– Quy đồng mẫu chung:

+ Nhân tử phụ của   là (x+3), nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

+ Nhân tử phụ của   là 2, nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

b) 

– Điều kiện phân thức có nghĩa:

 có nghĩa khi x2 – 2x + 1 ≠ 0 ⇒ (x – 1)2  ≠ 0 ⇒ x ≠ 1.

 có nghĩa khi x2 + 2x ≠ 0 ⇒ x(x + 2)  ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ -2.

– Ta có:

⇒ Mẫu thức chung: x(x+2)(x-1)2

– Quy đồng mẫu chung:

 + Nhân tử phụ của   là x(x+2), nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

 + Nhân tử phụ của   là (x-1)2 , nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

° Dạng 10: Thực hiện các phép toán trên phân thức

* Phương pháp:

• Cộng trừ phân thức: Quy đồng mẫu chung; Thực hiện cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu giữ nguyên; Thu gọn nếu có thể

Nhân phân thức: Lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu, thu gọn nếu có thể

Chia phân thức: nghịch đảo của  là ;

Ta có: (phép chia thành phép nhân nghịch đảo), rồi thu gọn nếu có thể.

♦ Ví dụ: Thực hiện phép tính

a) 

b) 

c) 

* Lời giải:

a) 

b) (rút gọn, chia cả tử và mẫu cho 2)

c)  (rút gọn, chia cả tử và mẫu cho x)

III. Bài tập luyện tập các dạng toán về phân thức đại số

Bài tập 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định

a)    b)   c)

Bài tập 2: Tìm giá trị của x để phân thức sau bằng 0:

a)   b)   c)

Bài tập 3: Tìm giá trị của x để phân thức:

a)    b) 

Bài tập 4: Chứng minh phân thức sa luôn có nghĩa

a)   b)

Bài tập 5: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) 

b) 

Bài tập 6: Rút gọn các phân thức sau:

a)   b)

Bài tập 7: Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a)    b) 

Bài tập 8: Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức sau:

a)  với 

b)  với x=-5 và y =10.

Bài tập 9: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên

a)   b)

Bài tập 10: Cho phân thức

a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

c) Tính giá trị của A tại x=3

d) Tim giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

Hy vọng với bài viết hệ thống các dạng toán về phân thức đại số và bài tập vận dụng ở trên giúp ích cho các em.

Tagged: