Các bài toán về hàm số lượng giác 11 thường có trong nội dung đề thi cuối kỳ và trong đề thi THPT quốc gia, đây cũng là nội dung kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững. Bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác, mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết để các em dễ dàng vận dụng khi gặp các dạng bài tập hàm số lượng giác tương tự.

I. Lý thuyết về Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin: y = sinx

+ Tập xác định:  và

+ y = sinx là hàm số lẻ

+ y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

° sinx = 0 khi 

° sinx = 1 khi 

° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = sinx có dạng:
đồ thị hàm số y = sinx

2. Hàm số cosin: y = cosx

+ Tập xác định:  và

+ y = cosx là hàm số chẵn

+ y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π.

– Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

° cosx = 0 khi

° cosx = 1 khi

° cosx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = cosx có dạng:
đồ thị hàm số y = cosx

3. Hàm số tan

+ Hàm số tan: 

+ Tập xác định: 

+ y = tanx là hàm số lẻ

+ y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

° tanx = 0 khi 

° tanx = 1 khi

° sinx = -1 khi

+ Đồng thị hàm số y = tanx có dạng:
đồ thị hàm số y = tanx

4. Hàm số cot

+ Hàm số cot:  

+ Tập xác định: 

+ y = cotx là hàm số lẻ

+ y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.

– Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:

° cotx = 0 khi

° cotx = 1 khi 

° sinx = -1 khi 

+ Đồng thị hàm số y = cotx có dạng:

đồ thị hàm số y = cotx

II. Các dạng toán về hàm số lượng giác

° Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

* Phương pháp:

– Tìm điều kiện của biến số x để hàm số xác định và chú ý đến tập xác định của các hàm số lượng giác.

 Ví dụ 1 (Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Tìm tập xác định của hàm số:

a)     b)

c)     d)

° Lời giải bài 2 (trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11):

a) Hàm số  xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z).

– Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}.

b) Hàm số  xác định:

 (1)

– Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x ∈ R, nên

  

– Do đó, (1) ⇔ (1 – cosx)≠0 ⇔ cosx≠1 ⇔ x≠k2π.

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là D = R{k2π, k ∈ Z}.

c) Hàm số  xác định:

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

d) Hàm số  xác định:

– Kết luận: Vậy tập xác định của hàm số là:

° Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ

* Phương pháp:

♦ Để xác định hàm số y=f(x) là hàm chẵn hay lẻ, ta làm như sau:

 Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm y=f(x)

 Bước 2: Với x bất kỳ: x ∈ D, ta chứng minh -x ∈ D

 Bước 3: Tính f(-x):

  ◊ Nếu f(-x) = f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số chẵn;

  ◊ Nếu f(-x) = -f(x), ∀x ∈ D thì hàm số y =f(x) là hàm số lẻ;

  ◊ Nếu có x ∈ D:

f(-x) ≠ f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số chẵn;

f(-x) ≠ -f(x) thì hàm số y =f(x) KHÔNG là hàm số lẻ;

 Ví dụ 1: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau:

 a) y = tanx + 3sinx

 b) y = 2cosx + sin2x

 c) y = 5sin2x.cos3x

 d) y = 2sinx + 3cosx

* Lời giải:

 a) y = tanx + 3sinx

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx – 3sinx = -(tanx + 3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ.

 b) y = 2cosx + sin2x

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 2cos(-x) + sin2(-x) = 2cos(x) + [sin(-x)]2 = 2cosx + (-sinx)2 = 2cosx + sin2x = f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 2cosx + sin2x là hàm số chẵn.

 c) y = 5sin2x.cos3x

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta có: f(-x) = 5sin(-2x)cos(-3x) = -5sin2x.cos3x = -f(x),∀x ∈ D.

⇒ y = 5sin2x.cos3x là hàm số lẻ.

 d) y = 2sinx + 3cosx

+ Tập xác định: 

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D

+ Ta xét với 

⇒ y = 2sinx + 3cosx KHÔNG là hàm số chẵn cũng KHÔNG là hàm số lẻ.

* Lưu ý: Để chứng minh hàm số y=f(x) không chẵn (hoặc không lẻ) thì ta cần chỉ ra có tồn tại x ∈ D sao cho: f(-x) ≠ f(x) (hoặc f(-x) ≠ -f(x)).

° Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kỳ tuần hoàn

* Phương pháp:

♦ Để chứng minh y=f(x) (có tập xác định D) tuần hoàn, cần chứng minh có T ∈ R sao cho:

 1) x + T ∈ D; x – T ∈ D, ∀x ∈ D.

 2) f(x+T) = f(x),∀x ∈ D.

♦ Giả sử hàm số y=f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất 1) và 2) ở trên.

 Ví dụ 1: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.

* Lời giải: 

– Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x – π ∈ D, ∀x ∈ D.

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x).

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a, với 0 < a < π sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

sin[2(x+a)] = sin2x, ∀x ∈ D.

– Chọn x = 0, ta có: sin2a = 0 ⇒ 2a = kπ (k ∈ Z) ⇒ 

– Do 0< a <π nên   

– Thử lại:   không đúng ∀x ∈ D.

Chẳng hạn, khi:

 thì  còn 

Vì vậy,  không phải chu kỳ của hàm số, chu kỳ của hàm số y = sin2x là π.

 Ví dụ 2: Chứng minh hàm số  là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của nó.

* Lời giải: 

– Hàm số:

+ TXĐ:  

⇒ 

+ Ta có: 

+ Ta có:   

⇒ Hàm số  là hàm số tuần hoàn.

+ Giả sử có a:  sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

 

– Chọn , ta có:

– Do  nên 0 < k < 1 ⇒ không có k vì k ∈ Z.

Vậy chu kỳ tuần hoàn của hàm số  là .

° Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số, Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.

* Phương pháp:

– Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số

– Bước 2: Dựa vào đồ thị vừa vẽ để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.

 Ví dụ 1 (Bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11): Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|

* Lời giải bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11: 

+ Hàm số y = sinx
đồ thị hàm số y = sinx

+ Hàm 

⇒ Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0).

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

⇒ Ta được đồ thị hàm số y = |sinx| là phần nét liền hình phía dưới.
đồ thị hàm số trị tuyệt đối sinx

 Ví dụ 2: Xác định các khoảng đồng biết và khoảng nghịch biến của hàm số y = |sinx| trên đoạn [0;2π].

* Lời giải: 

+ Từ đồ thị hàm số y = |sinx| ở trên, ta xét trong đoạn[0;2π] , ta có:

– Hàm số đồng biến khi 

– Hàm số nghịch biến khi 

° Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác

* Phương pháp:

– Vận dụng tính chất:  -1 ≤ sinx ≤ 1; -1 ≤ cosx ≤ 1

 Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các hàm số sau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) Ta có: 

⇒ GTNN của y = -4 đạt được khi    ,(k ∈ Z)

⇒ GTLN của y = 6 đạt được khi  ,(k ∈ Z)

III. Bài tập vận dụng các dạng toán về hàm số lượng giác

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a)

b)

c)

Bài tập 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a)

b)

c)

Bài tập 3: Chứng minh hàm số sau tuần hoàn với chu kỳ T đã cho

a)

b)

c)

Bài tập 4: Vẽ đồ thị của hàm số và xác định khoảng đồng biến nghịch biến.

a)

b)

Bài tập 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a)

b)

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng toán về hàm số lượng giác và bài tập ở trên hữu ích cho các em.

Tagged: