Phương trình bậc 2 một ẩn là nội dung không mấy xa lạ, cách giải phương trình bậc 2 và một số dạng toán cũng đã được giới thiệu với các em ở các lớp học trước.Trong bài viết này chúng ta sẽ hệ thống lại một số dạng bài tập và cách giải đối với phương trình bậc 2 một ẩn như: Giải và biện luận phương trình bậc 2 (Giải phương trình bậc 2 chứa tham số m); Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước; Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai; Phương trình quy về phương trình bậc hai; Giải hệ phương trinh bậc 2 hai ẩn.

I. Lý thuyết về Phương trình bậc 2 (tóm tắt)

1. Giải và biện luận phương trình bậc 2

• Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)  (*)

Δ = b2 – 4ac

♦ Nếu Δ < 0 ⇔ Tập nghiệm: S = Ø

♦ Nếu Δ = 0 ⇔ Tập nghiệm: 

♦ Nếu Δ > 0 ⇔ Tập nghiệm: 

2. Định lý Vi-ét

• Nếu (*) có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

 và 

• Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

– Nếu a + b + c = 0 

– Nếu a – b + c = 0 

• Nếu hai số x và y có S = x + y và P = x.y thì x, y là nghiệm của phương trình bậc 2: t2 – St + P = 0.

II. Các dạng Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc 2 (PT bậc 2 chứa tham số)

* Phương pháp: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0.

Cách giải: Xét các trường hợp đặc biệt:

◊ a + b + c = 0

◊ a – b + c = 0

◊ b = 2b’ (hệ số b chẵn)

◊ Phương trình dạng x2 – Sx + P = 0 (nhẩm nghiệm)

♦ Biện luận:

◊ Xét trường hợp a = 0.

◊ Khi a ≠ 0, xét dấu tích ac và tính Δ = b2 – 4ac.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

c) 

° Lời giải ví dụ 1:

a) Vì a + b + c =  nên nhẩm nghiệm ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 

b) Ta có: 

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm 

c) Xét trường hợp m = 1: Phương trình đã cho có nghiệm x = -1;

Trường hợp m ≠ 1: Ta có a – b + c = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm:

* Ví dụ 2: Giải biện luận các phương trình sau:

a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0.

b) 

° Lời giải ví dụ 2:

a) (m+1)x2 + (3m+1)x + 2(m-1) = 0. (*)

• Trường hợp m = -1: Phương trình (*) trở thành:

-2x – 4 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của phương trình.

• Trường hợp m ≠ -1: Δ  = m2 + 6m + 9 = (m+3)2

◊ m = – 3 thì Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:

◊ m ≠ – 3 thì Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

 

b)  (*)

– Điều kiện x≠2 và x≠0.

– Quy đồng khử mẫu ta được:

(*) ⇔ mx2 – 3x + 2m = 0

• Trường hợp m = 0: Phương trình trở thành: -3x = 0 ⇔ x = 0 (loại).

• Trường hợp m ≠ 0: Δ = 9 – 8m2

◊ Δ < 0 ⇔  phương trình vô nghiệm

◊ Δ = 0 ⇔  Phương trình có nghiệm kép 

Với  (nhận)

Với  (nhận)

◊ Δ > 0 ⇔  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 

Hai nghiệm này nhận được (thỏa điều kiện) khi và chỉ khi:

– Như vậy ta có kết luận:

 hoặc  hoặc m = 0: PT vô nghiệm

: PT có nghiệm kép 

: PT có nghiệp kép 

m = 1: PT có nghiệp đơn x = 2

 và m≠0; m≠1: PT có hai nghiệm phân biệt.

° Dạng 2: Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

* Ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): 

– Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

– Để PT (*) có hai nghiệm phân biệt thì Δ’ = b’2 – ac > 0

⇔ (m + 1)2 – 3.(3m – 5) > 0

⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

⇔ m2 – 7m + 16 > 0

⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0

– Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m ∈ R nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

– Gọi hai nghiệm của (*) là x1; x2 khi đó theo Vi-ét ta có:

 và  (1)

– Theo bài ra, Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, nên không mất tính tổng quát khi giả sử x2 = 3.x1, khi thay vào (1) suy ra:

 

 

⇔ m2 + 2m + 1 = 4(3m-5)

⇔ m2 – 10m + 21 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = 7

◊ TH1: m = 3, PT (*) trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

◊ TH2: m = 7, PT (*) trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

– Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

* Ví dụ 2: Cho phương trình: (m+1)x2 – 4m(m+1)x – m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.

° Lời giải ví dụ 2: 

– Để phương trình có nghiệm kép thì:

a = m+1 ≠ 0 và Δ’ = 4m2(m+1)2 + m(m+1)=0

⇔ m≠-1 và m(m+1)(2m+1)2 = 0

Giải PT: m(m+1)(2m+1)2 = 0 ta được m = 0; m = -1; m = -1/2;

Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm m = -1; nhận 2 nghiệm m = 0 và m =-1/2;

– Với m = 0, ta có nghiệm kép là: 

– Với m = -1, ta có nghiệm kép là: x = -1.

* Ví dụ 3: Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0 (*)

Xác định m để PT trên có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Lời giải ví dụ 2: 

– Để PT có hai nghiệm phân biệt thì:

Δ’ = 1-m>0 ⇔ m < 1

– Khi đó x1, x2 là nghiệm của PT không mất tính tổng quát khi giả sử 

– Mà theo Vi-ét ta có:   (**)

– Giải PT (**) này ta được 2 nghiệm x2 = 1 và x2 = -2

– Thay x2 = 1 vào PT (*) ta được m = 1 (loại, do không thỏa điều kiện m<1)

– Thay x2 = -2 vào PT (*) ta được m = -8 (nhận)

– Kết luận: m = -8 thì PT x2 – 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Dạng 3: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

* Phương pháp: Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

– Có 2 nghiệm x1 và x2 nếu:

• x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0.

• x≤ x2 < 0 ⇔ 

• x≥ x2 > 0 ⇔

* Ví dụ: Cho phương trình: (m2+1)x2 + 2(m2-1)x – (m2-1) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

° Lời giải

– Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:

– Như vậy không có giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương.

° Dạng 4: Các phương trình quy về phương trình bậc hai

* Phương pháp: Các phương trình dạng sau có thể đưa về được pt bậc 2

1) ax4 + bx2 + c = 0; Đặt t = x2 ≥ 0.

2) a(P(x))2 + b(P(x)) + c = 0; Đặt t = P(x).

3) P(x)[P(x) + b] + c = 0; Đặt t = P(x).

4) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e; Đặt t = (x+a)(x+d), điều kiện a + d = b + c.

5) ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0; Chia 2 vế cho x2 rồi đặt 

6) (x+a)4 + (x+b)4 + c = 0; đặt 

7) Phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối

8) Phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) (x – 1)(x + 5)(x+ 4x + 8) + 40 = 0  (*)

b) x4 – 3x2 + 4x2 – 3x + 1 = 0  (**)

° Lời giải:

a) (x – 1)(x + 5)(x+ 4x + 8) + 40 = 0  (*)

– Đặt t = (x – 1)(x + 5) = x2 + 4x – 5

 ⇒ x2 + 4x + 8 = x2 + 4x – 5 + 13 = t + 13

– Vậy (*) ⇔ t(t + 13) + 40 = 0

 ⇔ t2 + 13t + 40 = 0 

 ⇔ t = -5 hoặc t = -8;

• Với t = -5  ⇒ x2 + 4x – 5 = -5

 ⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -4.

• Với t = -8  ⇒ x2 + 4x – 5 = -8

⇔ x2 + 4x +3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3.

– Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-4; -3; -1; 0}.

b) x4 – 3x2 + 4x2 – 3x + 1 = 0  (**)

– Vì x = 0 không phải là nghiệm nên chia 2 vế cho x2≠0 ta được:

 (**) 

 Đặt , |t|≥2 ta được: t2 – 3t + 2 = 0

– Giải PT theo t (nhẩm nghiệm a + b + c = 0) ta được: t = 1 (loại, do không thỏa điều kiện |t|≥2) và t = 2(nhận).

– Với t = 2 ⇒ 

° Dạng 5: Giải hệ phương trình bậc 2 chứa hai ẩn

* Phương pháp: 

• Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai: Rút một ẩn ở pt bậc nhất, thay vào pt bậc 2 ta được pt bậc 2 chứa 1 ẩn

• Hệ đối xứng (là hệ khi đổi vai trò giữa x và y ta thấy các pt không đổi): Đặt hai ẩn phụ S = x + y và P = x.y. Tính S, P suy ra x và y.

* Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

  (*)

° Lời giải ví dụ 1:

– Ta có: 

 (*)  

– Với y = 1 ta được x = 4;

– Với y=-7/4 ta được x = -17/4

– Kết luận: Vậy hệ có 2 cặp nghiệm là: (4;1) và (-17/4; -7/4).

* Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

 (*)

° Lời giải ví dụ 2:

– Ta đặt: S = x + y và P = x.y khi đó:

 (*)  

• Từ P + S = 5 ⇒ P = 5 – S; thay P vào P.S = 6 ta được:

 (5 – S)S = 6 ⇔ 5S – S2 = 6 ⇔ S2 – 5S + 6 = 0

 ⇔ S = 2 hoặc S = 3

– Với S = 2 ⇒ P = 3, x và y là nghiệm của phương trình:

 t2 – 2t + 3 = 0; Ta có  (PT vô nghiệm)

– Với S = 3 ⇒ P = 2, x và y là nghiệm của phương trình:

 t2 – 3t + 2 = 0; có nghiệm t = 1 hoặc t = 2.

⇒ Vậy hệ (*) có 2 cặp nghiệm là: (1;2) và (2;1)

Tagged: